Question

9．四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，頂點(diǎn)S在底面的射影是底面正方形的中心O，SO=2，E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PE⊥AC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長為（　�。�

• A． $\sqrt{2}+\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{2}+\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}+\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知點(diǎn)P的軌跡為三角形EFG，其中G、F為中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理求出EF、GE、GF，從而求出軌跡的周長．

解答 解：由題意知，點(diǎn)P的軌跡為如圖所示的三角形EFG，其中G、F為中點(diǎn)，
此時(shí)AC⊥EF，AC⊥GE，則AC⊥平面EFG，則PE⊥AC．
∵ABCD是邊長為2的正方形，∴BD=2$\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∵SO=2，OB=$\sqrt{2}$，
∴SB=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
∴GE=GF=$\frac{1}{2}$SB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴軌跡的周長為$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了軌跡問題，以及點(diǎn)到面的距離等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力，計(jì)算推理能力，屬于中檔題．