Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且對任意正整數(shù)n，滿足2a_n+1+S_n-2=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）設(shè)b_n=na_n²，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出數(shù)列的遞推關(guān)系式，判斷{a_n}是以首項a₁=1，公比$q=\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，求解即可．
（2）化簡新數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）因為2a_n+1+S_n-2=0，
所以，當n≥2時，2a_n+S_n-1-2=0，…（1分）
兩式相減得2a_n+1-2a_n+S_n-1-2=0，即$2{a_{n+1}}-2{a_n}+{a_n}=0，{a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$…（3分）
又當n=1時，2a₂+S₁-2=2a₂+a₁-2=0，所以${a_2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{a_1}$，…（4分）
所以{a_n}是以首項a₁=1，公比$q=\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$…（6分）
（2）由（1）知，${b_n}=na_n^2=\frac{n}{{{4^{n-1}}}}$，…（7分）
則${T_n}=1+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+…+\frac{n-1}{{{4^{n-2}}}}+\frac{n}{{{4^{n-1}}}}$，①
$4{T_n}=4+2+\frac{3}{4}+…+\frac{n-1}{{{4^{n-3}}}}+\frac{n}{{{4^{n-2}}}}$，②…（8分）
②-①得$3{T_n}=5+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{{4^{n-3}}}}+\frac{1}{{{4^{n-2}}}}-\frac{n}{{{4^{n-1}}}}$，…（10分）
=$\frac{16}{3}-\frac{3n+4}{{3×{4^{n-1}}}}$，…（11分）
所以，數(shù)列{b_n}的前n項和為${T_n}=\frac{16}{9}-\frac{3n+4}{{9×{4^{n-1}}}}$…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．