Question

10．已知函數(shù)f（x）=|lnx|，關(guān)于x的不等式f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）的解集為（0，+∞），則c的值是-2．

Answer 1

分析 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=-lnx，f′（x）=-$\frac{1}{x}$∈（-∞，-1），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$∈（0，1），進(jìn)而將x₀=1和x0=$\frac{1}{2}$代入，結(jié)果斜率公式分類(lèi)討論可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|lnx|，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=-lnx，f′（x）=-$\frac{1}{x}$∈（-∞，-1），
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$∈（0，1），
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）
可化為：$\frac{f（x）-f（\frac{1}{2}）}{x-\frac{1}{2}}$≤c，則c≥f′（$\frac{1}{2}$）=-2，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）
可化為：$\frac{f（x）-f（\frac{1}{2}）}{x-\frac{1}{2}}$≥c，則c≤f′（$\frac{1}{2}$）=-2，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）
可化為：$\frac{f（x）-f（\frac{1}{2}）}{x-\frac{1}{2}}$≥c，則c≤1，
故c=-2，
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，難度中檔．