Question

18．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=6cosα\\ y=3sinα\end{array}$（α為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）若點A，B為曲線C上的兩點，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=6cosα\\ y=3sinα\end{array}$（α為參數(shù)），利用平方關系可得曲線C的普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲線C的極坐標方程．
（2）由對稱性，設點A、B的極坐標分別為（ρ₁，θ），$（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$，其中$θ∈[{0，}\right.\frac{π}{2}）$，代入極坐標方程化簡利用三角函數(shù)的值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=6cosα\\ y=3sinα\end{array}$（α為參數(shù)），可得曲線C的普通方程為$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$．  
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的極坐標方程為${ρ^2}={\frac{36}{{{{cos}^2}θ+4{{sin}^2}θ}}_{\;}}$．
（2）由對稱性，設點A、B的極坐標分別為（ρ₁，θ），$（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$，其中$θ∈[{0，}\right.\frac{π}{2}）$，
則$|OA|•|OB|={ρ_1}×{ρ_2}=\frac{6}{{\sqrt{{{cos}^2}θ+4{{sin}^2}θ}}}•\frac{6}{{\sqrt{{{cos}^2}（θ+\frac{π}{2}）+4{{sin}^2}（θ+\frac{π}{2}）}}}$=$\frac{6}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}•\frac{6}{{\sqrt{1+3co{s^2}θ}}}=\frac{36}{{\sqrt{4+9{{sin}^2}θ{{cos}^2}θ}}}=\frac{36}{{\sqrt{4+\frac{9}{4}{{sin}^2}2θ}}}≥\frac{72}{5}$．
當且僅當sin²2θ=1即$θ=\frac{π}{4}$，|OA|•|OB|取到最小值$\frac{72}{5}$．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長問題、三角函數(shù)的單調性值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．