13.數(shù)列{an}中,a1=1,前n項和是Sn,Sn=2an-1,n∈N*
(1)求a2,a3,a4;
(2)求通項公式an;
(3)求證:SnSn+2<Sn+12

分析 (1)由Sn=2an-1,n∈N*.分別取n=2,3,4,即可得出.
(2)利用遞推關系即可得出.
(3)利用(2),通過作差即可證明.

解答 解:(1)∵a1=1,Sn=2an-1,
∴當n=2時,a1+a2=2a2-1,∴a2=2
當n=3時,a1+a2+a3=2a3-1,∴a3=4
當n=4時,a1+a2+a3+a4=2a4-1,∴a4=8.
(2)∵Sn=2an-1,n∈N*
∴Sn-1=2an-1-1,n≥2,n∈N*
①-②得:an=2an-2an-1(n≥2,n∈N*),即an=2an-1(n≥2,n∈N*),
∴數(shù)列{an}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,其通項公式${a_n}={2^{n-1}}$.
(3)證明:${S_n}=2{a_n}-1={2^n}-1$,
${S_n}{S_{n+2}}=({2^n}-1)({2^{n+2}}-1)={2^{2n+2}}-{2^{n+2}}-{2^n}+1$,
$S_{n+1}^2={({2^{n+1}}-1)^2}={2^{2n+2}}-{2^{n+2}}+1$,
∴$S_{n+1}^2-{S_n}{S_{n+2}}={2^n}>0$,∴${S_n}{S_{n+2}}<S_{n+1}^2$.

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關系、作差法、數(shù)列遞推關系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(2)將函數(shù)f(x)的圖象上每一點的縱坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍,橫坐標不變,得到函數(shù)g(x)的圖象.試求g(x)在區(qū)間[π,$\frac{5π}{2}$]上的最值.
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