Question

7．在同一直角坐標(biāo)系中，圓錐曲線C通過(guò)伸縮變換φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$變成曲線x²+y²=1，則曲線C的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由伸縮變換φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$，變成曲線x²+y²=1，可得曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，即可得出離心率．

解答 解：由伸縮變換φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$，變成曲線x²+y²=1，
可得曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
則曲線C的離心率=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)變換、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．