Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，求一組斜率為m的平行弦的中點(diǎn)的軌跡．

Answer 1

分析 設(shè)斜率為m的直線的方程為y=mx+d，從而聯(lián)立方程化簡(jiǎn)可得（a²m²+b²）x²+2a²mdx+a²d²-a²b²=0，從而可得x₀=-$\frac{{a}^{2}md}{{a}^{2}{m}^{2}+^{2}}$，y₀=$\frac{d^{2}}{{a}^{2}{m}^{2}+^{2}}$，從而確定軌跡．

解答 解：設(shè)斜率為m的直線的方程為y=mx+d，
與橢圓方程聯(lián)立可得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=mx+d}\end{array}\right.$，
消y化簡(jiǎn)可得，
（a²m²+b²）x²+2a²mdx+a²d²-a²b²=0，
故當(dāng)△＞0時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)交點(diǎn)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），設(shè)弦的中點(diǎn)為（x₀，y₀），
故x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}md}{{a}^{2}{m}^{2}+^{2}}$，y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2d
=-m$\frac{2{a}^{2}md}{{a}^{2}{m}^{2}+^{2}}$+2d=$\frac{2d^{2}}{{a}^{2}{m}^{2}+^{2}}$，
x₀=-$\frac{{a}^{2}md}{{a}^{2}{m}^{2}+^{2}}$，y₀=$\frac{d^{2}}{{a}^{2}{m}^{2}+^{2}}$，
故b²x₀+a²my₀=0，
故斜率為m的平行弦的中點(diǎn)的軌跡為直線b²x+a²my=0在橢圓內(nèi)的部分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．