Question

12．在△ABC中，內角A，B，C的對邊為a，b，c，已知2cos²$\frac{A}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC=1．
（I）求角C的值．
（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求a，b．

Answer 1

分析 （I）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得-sinBsinC=-$\sqrt{3}$sinBcosC，結合范圍B∈（0，π），sinB≠0，解得tanC=$\sqrt{3}$，又C∈（0，π），即可求C的值．
（Ⅱ）由三角形面積公式可解得ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，聯(lián)立可解得a，b的值．

解答 解：（I）∵2cos²$\frac{A}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC=1，
∴1+cosA+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC=1，可得：-cosA=（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC，
∴cos（B+C）=cosBcosC-sinBsinC=cosBcosC-$\sqrt{3}$sinBcosC，可得：-sinBsinC=-$\sqrt{3}$sinBcosC，
∵B∈（0，π），sinB≠0，
∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，即：tanC=$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵c=2，C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面積為$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
∴解得：ab=4，①
又∵由余弦定理可得：4=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（a+b）²-12，解得：a+b=4，②
∴①②聯(lián)立可解得：a=b=2．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正切函數(shù)的圖象和性質，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題．