Question

11．如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，BE平分∠ABC，AD與BE交于點P，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則λ等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• D． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 可以BC，DA所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)$AB=\sqrt{2}$，從而可根據(jù)條件求出A，B，C三點的坐標(biāo)，并可求出$tan22.5=\sqrt{2}-1$，可寫出直線BE的方程，從而求出點P的坐標(biāo)，進而得出向量$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，帶入$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$即可建立關(guān)于λ，μ的方程，解出λ即可．

解答 解：以BC，DA所在直線為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=$\sqrt{2}$，則：

A（0，1），B（-1，0），C（1，0）；
根據(jù)正切的二倍角公式：設(shè)tan22.5=x，則$\frac{1-{x}^{2}}{2x}=1$，且x＞0；
∴解得x=$\sqrt{2}-1$；
∴直線BE的方程為$y=（\sqrt{2}-1）（x+1）$；
∴令x=0，y=$\sqrt{2}-1$，即$P（0，\sqrt{2}-1）$；
∴$\overrightarrow{AP}=（0，\sqrt{2}-2），\overrightarrow{AB}=（-1，-1）$，$\overrightarrow{AC}=（1，-1）$；
∴$（0，\sqrt{2}-2）=λ（-1，-1）+μ（1，-1）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{μ-λ=0}\\{μ+λ=2-\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．
故選D．

點評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，能確定圖形上點的坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)可求向量坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的數(shù)乘和加法運算．