Question

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC₁⊥平面ABC，BC=CA=AC₁．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求二面角A₁-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出BC∥B₁C₁，AC⊥B₁C₁，AC₁⊥ACC，由此能證明AC⊥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）分別取BB₁，CC₁的中點(diǎn)M、N，連結(jié)AM，MN，AN，則∠AMN為二面角A₁-BB₁-C的平面角，由此能求出二面角A₁-BB₁-C的余弦．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以BC∥B₁C₁．
又因?yàn)椤螦CB=90°，所以AC⊥B₁C₁，（3分）
因?yàn)锳C₁⊥平面ABC，所以AC₁⊥ACC，（6分）
因?yàn)锳C₁∩B₁C₁=C₁，
所以AC⊥平面AB₁C₁．（7分）
解：（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)A₁在平面A₁ABB₁內(nèi)，故只需求A-BB₁-C的二面角．
分別取BB₁，CC₁的中點(diǎn)M、N，連結(jié)AM，MN，AN，
所以AM⊥BB₁．因?yàn)锳C₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，
所以BC⊥CC₁，即平行四邊形BCC₁B₁為矩形，
所以MN⊥BB₁，所以∠AMN為二面角的平面角．（11分）
設(shè)BC=CA=AC₁=1，則AB=AB₁=BB₁=$\sqrt{2}$，
所以AM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，MN=1，AN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由余弦定理得，cos∠AMN=$\frac{\frac{6}{4}+\frac{2}{4}-1}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以二面角A₁-BB₁-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．