Question

6．已知五邊形ABCDE由直角梯形ABCD與直角△ADE構(gòu)成，如圖1所示，AE⊥DE，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=CD=2DE=3AB，將梯形ABCD沿著AD折起，形成如圖2所示的幾何體，且使平面ABCD⊥平面ADE．
（Ⅰ）在線段CE上存在點(diǎn)M，且$\frac{EM}{CE}$=$\frac{1}{3}$，證明BM∥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角B-CE-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過點(diǎn)M作MF∥DC，交ED于點(diǎn)F，推導(dǎo)出四邊形ABMF是平行四邊形，由此能證明BM∥平面ADE．
（Ⅱ）以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ED為x軸，EA為y軸，過E作平面ADE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-CE-D的平面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）過點(diǎn)M作MF∥DC，交ED于點(diǎn)F，
∵$\frac{EM}{CE}$=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{MF}{CD}=\frac{1}{3}$，
由題意知$\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{3}$，AB∥CD，
∴AB$\underset{∥}{=}$MF，∴四邊形ABMF是平行四邊形，
∴BM∥AF，又BM?平面ADE，AF?平面ADE，
∴BM∥平面ADE．
解：（Ⅱ）∵AE⊥DE，∴以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ED為x軸，EA為y軸，
過E作平面ADE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=1，則AD=CD=3，DE=$\frac{3}{2}$，
由AD=2DE，AE⊥DE，知∠DAE=30°，
∴AE=AD$•cos30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴C（$\frac{3}{2}，0，3$），B（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，1），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BCE的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=\frac{3}{2}x+3z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，-1），
平面DCE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{139}}{139}$，
由圖形得二面角B-CE-D的平面角是鈍角，
∴二面角B-CE-D的平面角的余弦值為-$\frac{2\sqrt{139}}{139}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．