Question

10．已知橢圓或雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），P是此曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且PF₁⊥PF₂，PF₁•PF₂=2，求該曲線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析 由題意可知設(shè)PF₁=m，PF₂=n，$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\\{mn=2}\end{array}\right.$，分曲線(xiàn)為橢圓時(shí)，求得m+n=2$\sqrt{6}$，2a=2$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{5}$，b²=a²-c²，求得b²，即可求得橢圓方程，當(dāng)曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)時(shí)，求得m-n=4，2a=4，c=$\sqrt{5}$，b²=c²-a²，求得b²，即可求得雙曲線(xiàn)方程．

解答 解：PF₁=m，PF₂=n，若是橢圓，方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\\{mn=2}\end{array}\right.$，
解得m+n=2$\sqrt{6}$，2a=2$\sqrt{6}$，a=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{5}$，
b²=a²-c²，b²=1，
∴$\frac{{x}^{2}}{6}+{y}^{2}=1$，
若是雙曲線(xiàn)，方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，m＞n，
則$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\\{mn=2}\end{array}\right.$，解得m-n=4，2a=4，a=2，c=$\sqrt{5}$，
b²=c²-a²，b²=1
∴$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，
綜上，方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+{y}^{2}=1$或$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線(xiàn)的方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，考察對(duì)圓錐曲線(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，屬于基礎(chǔ)題．