Question

18．已知函數(shù)f（x）=mx²+$\frac{1}{x}$的圖象關(guān)于點O（0，0）對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）=（a+1）f（x）+x，g（x）在區(qū)間（0，2]上的值不小于6，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出m的值，從而求出f（x）的解析式即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a≥-x²+6x-1，令q（x）=-x²+6x-1，x∈（0，2]，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因為函數(shù)$f（x）=m{x^2}+\frac{1}{x}$的圖象關(guān)于點O（0，0）對稱，
所以f（x）是奇函數(shù)，即?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=-f（x），
∴$m{（{-x}）^2}+\frac{1}{-x}=-（{m{x^2}+\frac{1}{x}}）$，2mx²=0，對?x∈（-∞，0）∪（0，+∞）成立，
∴$m=0∴f（x）=\frac{1}{x}$．
（2）由題意$g（x）=x+\frac{a+1}{x}$，且$g（x）=x+\frac{a+1}{x}≥6$，在x∈（0，2]恒立，
∵x∈（0，2]，∴a+1≥x（6-x），
即a≥-x²+6x-1，令q（x）=-x²+6x-1，x∈（0，2]，
而g（x）=-（x-3）²+8，對稱軸x=3，
∴x∈（0，2]時，g（x）遞增，
q（x）_max=q（2）=7，
故a≥7．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查函數(shù)恒成立以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．