Question

廣東某六所名校聯(lián)盟辦學(xué)，他們不但注重學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)的提高，更重視學(xué)生的綜合素質(zhì)的提高；六校從各校中抽出部分學(xué)生組成甲、乙、丙、丁 4個(gè)小組進(jìn)行綜合素質(zhì)過(guò)關(guān)測(cè)試，設(shè)4個(gè)小組中：甲、乙、丙、丁組在測(cè)試中能夠過(guò)關(guān)的概率分別為0.6，0.5，0.5，0.4，各組是否過(guò)關(guān)是相互獨(dú)立的．
（1）求測(cè)試中至少3個(gè)小組過(guò)關(guān)的概率；
（2）X表示測(cè)試中能夠過(guò)關(guān)的組數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)相互對(duì)立事件的概率的乘法公式求出測(cè)試中至少3個(gè)小組過(guò)關(guān)的概率P；
（2）求出X的可能取值，從而求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）測(cè)試中至少3個(gè)小組過(guò)關(guān)的概率為
P=0.6×0.5²×（1-0.4）+2×0.6×0.5²×0.4+（1-0.6）×0.5²×0.4+0.6×0.5²×0.4
=0.09+0.12+0.04+0.06
=0.31；
（2）∵X的可能取值為0，1，2，3，4；
∴P（X=0）=（1-0.6）×0.5²×（1-0.4）=0.06，
P（X=1）=0.6×0.5²×（1-0.4）+2×（1-0.6）×0.5²×（1-0.4）+（1-0.6）×0.5²×0.4
=0.25，
P（X=4）=0.6×0.5²×0.4=0.06；
由（1）知，P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=0.31，
∴P（X=3）=0.31-0.06=0.25，
∴P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38，
∴EX=0×P（X=0）+1×P（X=1）+2×P（X=2）+3×P（X=3）+4×P（X=4）
=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06
=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相互對(duì)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題目．