Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{（{1-a}）{x^2}-ax+a}}{e^x}$在區(qū)間[0，+∞）上的最大值為a，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{4}{{{e^2}+5}}}$]
• B． （-∞，$\frac{4}{{{e^2}+5}}}$]
• C． [-$\frac{4}{{{e^2}+5}}$，+∞）
• D． [$\frac{4}{{{e^2}+5}}$，+∞）

Answer 1

分析 由求導公式和法則求出f′（x），化簡后對a進行分類討論，分別利用導數(shù)在定義域內(nèi)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值，再求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意得，$f′（x）=\frac{[（1-a）{x}^{2}-ax+a]′{e}^{x}-（{e}^{x}）′[（1-a）{x}^{2}-ax+a]}{（{e}^{x}）^{2}}$
=$\frac{（a-1）{x}^{2}+（2-a）x-2a}{{e}^{x}}$=$\frac{[（a-1）x+a]（x-2）}{{e}^{x}}$，
（1）當a=1時，$f′（x）=\frac{x-2}{{e}^{x}}$，
當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上遞減，
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）上遞增，
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞）上有極小值f（2）=$-\frac{1}{{e}^{2}}$，
∵f（0）=a=1，且$\underset{lim}{x→∞}f（x）$=$\underset{lim}{x→∞}\frac{1-x}{{e}^{x}}$＜0，
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞）上有最大值f（0）=a=1，成立；
（2）當a＞1時，由f′（x）=0得x=2或$\frac{a}{1-a}$＜0，
∴當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上遞減，
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上遞增，
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞）上有極小值f（2）=$-\frac{1}{{e}^{2}}$，
∵f（0）=a＞1，且$\underset{lim}{x→∞}f（x）$=$\underset{lim}{x→∞}\frac{（1-a）{x}^{2}-a（x-1）}{{e}^{x}}$＜1，
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞）上有最大值f（0）=a，成立；
（3）當a＜1時，由f′（x）=0得x=2或$\frac{a}{1-a}$，
①當a=$\frac{2}{3}$時，有2=$\frac{a}{1-a}$，f′（x）＜0，則f（x）在區(qū)間[0，+∞）上遞減，
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最大值是f（0）=a，成立，
②當$\frac{2}{3}＜a＜1$時，有2＜$\frac{a}{1-a}$，
當x∈（2，$\frac{a}{1-a}$）時，f′（x）＞0，則f（x）在區(qū)間（2，$\frac{a}{1-a}$）上遞增，
當x∈（$\frac{a}{1-a}$，+∞）、（0，2）時，f′（x）＜0，則f（x）在區(qū)間（$\frac{a}{1-a}$，+∞）、（0，2）上遞減，
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的極大值是f（$\frac{a}{1-a}$）=$\frac{a}{{e}^{\frac{a}{1-a}}}$，
又f（0）=a，由題意得$\frac{a}{{e}^{\frac{a}{1-a}}}$≤a，解得0≤a＜1，即$\frac{2}{3}＜a＜1$成立，
③當$a＜\frac{2}{3}$時，有2＞$\frac{a}{1-a}$，
當x∈（$\frac{a}{1-a}$，2）時，f′（x）＞0，則f（x）在區(qū)間（$\frac{a}{1-a}$，2）上遞增，
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＜0，則f（x）在區(qū)間（2，+∞）上遞減，
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的極大值是f（2）=$\frac{4（1-a）-2a+a}{{e}^{2}}$=$\frac{4-5a}{{e}^{2}}$，
又f（0）=a，由題意得$\frac{4-5a}{{e}^{2}}$≤a，解得a≥$\frac{4}{{e}^{2}+5}$，即$a∈[\frac{4}{{e}^{2}+5}，\frac{2}{3}）$，
綜上可得，a的取值范圍是$[\frac{4}{{e}^{2}+5}，+∞）$，
故選：D．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系，考查分類討論思想和極限思想的應用，屬于難題．