Question

13．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ln（1-x）的單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系解導(dǎo)數(shù)不等式f′（x）＞0即可．

解答 解：由1-x＞0得x＜1，即函數(shù)的定義域為（-∞，1），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x+$\frac{1}{1-x}$=$\frac{{x}^{2}-x-1}{x-1}$，
由f′（x）＞0得x²-x-1＜0得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∵x＜1，
∴$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜1，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，1），
故答案為：（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，1）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．