Question

16．若函數(shù)y₁=2sinx₁（x₁∈[0，2π]），函數(shù)y₂=x₂+$\sqrt{3}$，則（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最小值為（　�。�

• A． $\frac{（5π-6\sqrt{3}）^{2}}{18}$
• B． $\frac{（5π+6\sqrt{3}）^{2}}{18}$
• C． $\frac{{π}^{2}}{18}$
• D． $\frac{{π}^{2}}{9}$

Answer 1

分析 根據(jù)平移切線法，求出和直線y=x+$\sqrt{3}$平行的切線方程或切點，利用點到直線的距離公式即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)z=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，則z的幾何意義是兩條曲線上動點之間的距離的平方．
求導(dǎo)函數(shù)y₁=2sinx₁（x₁∈[0，2π]），
${{y}_{1}}^{′}$=2cosx₁（x₁∈[0，2π]），
已知直線y₂=x₂+$\sqrt{3}$的斜率k=1，
令${{y}_{1}}^{′}$=2cosx₁=1，即cosx=$\frac{1}{2}$，
解得x=$\frac{π}{3}$，此時y=$\sqrt{3}$
即函數(shù)在（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{3}$）處的切線和直線y=x+$\sqrt{3}$平行，
則最短距離d=$\frac{|\frac{π}{3}|}{\sqrt{2}}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最小值d²=（$\frac{|\frac{π}{3}|}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{{π}^{2}}{18}$
故選：C

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用平移切線法求直線和正弦函數(shù)距離的最小值是解決本題的關(guān)鍵．