Question

18．已知不恒為零的函數(shù)f（x）=xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）是偶函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）求不等式f（x-2）＜log₂（1+$\sqrt{2}$）的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（-x）=f（x），求得a、b的值．
（2）不等式等價于 f（x-2）＜f（1），即|x-2|＜1，求得x的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f（x）=xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）=f（-x）=-xlog₂（-ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$），
即x${log}_{2}（{ax}^{2}+b{{-a}^{2}x}^{2}）$=0，$\left\{\begin{array}{l}{a{-a}^{2}=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
經(jīng)過檢驗，當(dāng)a=1，b=1時，滿足f（x）是偶函數(shù)，故a=1，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=xlog₂（x+$\sqrt{{x^2}+1}$），顯然在x∈（0，+∞）上，f（x）是增函數(shù)，
f（x-2）＜log₂（1+$\sqrt{2}$），等價于 f（x-2）＜log₂（1+$\sqrt{2}$）=f（1），
∵f（-x）=f（x）=f（|x|），∴f（|x-2|）＜f（1），|x-2|＜1，求得x∈（1，3）．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．