已知動圓與圓相切,且與圓相內(nèi)切,記圓心的軌跡為曲線;設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)的平行線交曲線兩個不同的點(diǎn).

(1)求曲線的方程;

(2)試探究的比值能否為一個常數(shù)?若能,求出這個常數(shù),若不能,請說明理由;

(3)記的面積為,求的最大值.

 

(1)圓心的軌跡

(2)的比值為一個常數(shù),這個常數(shù)為;

(3)當(dāng)時,取最大值

【解析】

試題分析:(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為,半徑為 

利用已知條件,判斷得到動圓與圓只能內(nèi)切,

從而由,

判斷得出圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓,且

求得圓心的軌跡;

(2)設(shè),研究直線,直線與橢圓聯(lián)立的方程組,應(yīng)用韋達(dá)定理,弦長公式,確定作出結(jié)論;

(3)注意到的面積的面積,

利用到直線的距離,將面積表示為 ,應(yīng)用“換元”思想,

,得到應(yīng)用基本不等式得解.

試題解析:(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為,半徑為 

由于動圓與圓相切,且與圓相內(nèi)切,所以動

與圓只能內(nèi)切                               2分圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓,其中

故圓心的軌跡                                             4分

(2)設(shè),直線,則直線

可得:,

                       6分

可得:

                        8分

的比值為一個常數(shù),這個常數(shù)為                            9分

(3),的面積的面積到直線的距離

                     11分

,則

(當(dāng)且僅當(dāng),即,亦即時取等號)當(dāng)時,取最大值                                        14分

考點(diǎn):圓與圓的位置關(guān)系,橢圓的定義、幾何性質(zhì),直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,基本不等式的應(yīng)用.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是( )

A. B. C. D.

 

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過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為,若三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列,則雙曲線的離心率為( )

A. B. C. D.

 

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已知之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)觀測得到的四組觀測值并制作了右邊的對照表,由表中數(shù)據(jù)粗略地得到線性回歸直線方程為,其中的值沒有寫上.當(dāng)不小于時,預(yù)測最大為 .

 

 

 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年山東省青島市高三4月統(tǒng)一質(zhì)量檢測考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與圓相交于兩點(diǎn),.若點(diǎn)在圓上,則實(shí)數(shù)( )

A. B. C. D.

 

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已知函數(shù),

(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為,為坐標(biāo)原點(diǎn),求的外接圓的面積.

 

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已知三棱錐中,,,,,則關(guān)于該三棱錐的下列敘述正確的為( )

A.表面積 B.表面積為

C.體積為 D.體積為

 

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若實(shí)數(shù)滿足,則的值域是 .

 

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已知函數(shù))的最小正周期為

(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位,再向上平移1個單位,得到函數(shù)的圖象;若上至少含有10個零點(diǎn),求b的最小值.

 

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