Question

6．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=2且c（cosA+cosB）=-（a+b）cos（A+B）．
（1）求角C的大小；
（2）若$\frac{1}{2}$≤cosA$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，求b邊的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理將角化邊，結(jié)合內(nèi)角和定理得出C；
（2）根據(jù)正弦定理用A表示出b，根據(jù)A的范圍得出b的最值．

解答 解：（1）△ABC中，∵c（cosA+cosB）=-（a+b）cos（A+B），
∴sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，
即sin（C-A）=sin（B-C）．
∴C-A=B-C．即2C-A-B=0，
又∵A+B+C=0，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，即$\frac{2}{sinA}=\frac{sin（\frac{2π}{3}-A）}$，
∴b=$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{sinA}$=$\sqrt{3}$cotA+1．
∵$\frac{1}{2}$≤cosA$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{π}{4}≤A≤\frac{π}{3}$．∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤cotA≤1．
∴當(dāng)cotA=1時，b取得最大值$\sqrt{3}+1$．

點評 本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．