Question

3．已知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{-\frac{ω}{4}，\frac{ω}{4}}）$內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{ω}{4}$對稱，則ω的值$\sqrt{π}$．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）在區(qū)間（-$\frac{ω}{4}$，$\frac{ω}{4}$）內(nèi)單調(diào)遞增，求出ω的取值范圍，再根據(jù)f（x）的對稱軸為x=$\frac{ω}{4}$，求出ω的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
且在區(qū)間（-$\frac{ω}{4}$，$\frac{ω}{4}$）內(nèi)單調(diào)遞增，ω＞0；
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：
[$\frac{2kπ-\frac{3π}{4}}{ω}$，$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$]，k∈Z；
∴-$\frac{ω}{4}$≥$\frac{2kπ-\frac{3π}{4}}{ω}$①，且ω≤$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$②，k∈Z，
由①②解得：0＜ω²≤-8kπ+3π且0＜ω²≤8kπ+π，k∈Z；
取k=0，得0＜ω²≤π；
又由ωx+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得函數(shù)f（x）的對稱軸為：x=$\frac{kπ+\frac{π}{4}}{ω}$，k∈Z，
又函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{ω}{4}$對稱，
得ω²=π，
解得ω=$\sqrt{π}$．
故答案為：$\sqrt{π}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．