Question

14．已知函數f（x）=|x-1|，g（x）=-|x+3|+a（a∈R）．
（1）當a=6時，解關于x的不等式f（x）＜g（x）；
（2）若函數y=2f（x）的圖象恒在函數y=g（x）的圖象的上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式即|x-1|+|x+3|＜6，分類討論，分別求得不等式的解集，
（2）由題意可得2f（x）-g（x）＞0，即a＜2|x-1|+|x+3|．設$h（x）=2|x-1|+|x+3|=\left\{\begin{array}{l}-3x-1，x＜-3\\-x+5，-3≤x＜1\\ 3x+1，x≥1\end{array}\right.$，利用單調性求的h（x）的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（1）當a=6時，不等式f（x）＞g（x）即為|x-1|+|x+3|＜6；
①當x＜-3時，不等式即為-（x-1）-（x+3）＜6，解得x＞-4，此時-4＜x＜-3；
②當-3≤x＜1時，不等式即為-（x-1）+（x+3）＜6，即4＜6成立，此時-3≤x＜1；
③當x≥1時，不等式即為（x-1）+（x+3）＜6，解得x＜2，此時1≤x＜1；
因此，綜上可知所求不等式的解集為（-4，2）；　…5分
（2）函數y=2f（x）的圖象恒在函數y=g（x）的圖象的上方，
故2f（x）-g（x）＞0恒成立，即a＜2|x-1|+|x+3|，
令$h（x）=2|x-1|+|x+3|=\left\{\begin{array}{l}-3x-1，x＜-3\\-x+5，-3≤x＜1\\ 3x+1，x≥1\end{array}\right.$，則h（x）在（-∞，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增，
故當x=1時，h（x）取得最小值h（1）=4，故a＜4，
即當a＜4時，函數y=2f（x）的圖象恒在函數y=g（x）的圖象的上方．…10分．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，利用單調性求函數的最值，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．