Question

13．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直線l過點（-1，0）交橢圓E于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意得b=1，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=1+{c}^{2}}\end{array}\right.$得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1求得橢圓方程；
（2）設直線l的方程為x=my-1，將直線方程代入橢圓方程，消去x，根據(jù)韋達定理代入三角形面積公式即可求得△AOB的面積，再換元配方即可得出結論．

解答 解：（1）由題意得b=1，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=1+{c}^{2}}\end{array}\right.$得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）依題意設直線l的方程為x=my-1，
聯(lián)立橢圓方程，得（m²+3）y²-2my-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{2}{{m}^{2}+3}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}×1×$|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{3{m}^{2}+6}{（{m}^{2}+3）^{3}}}$，
設m²+3=t（t≥3），則S_△AOB=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵t≥3，∴0＜$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{3}$，
∴當$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{3}$，即t=3時，△OAB面積取得最大值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，此時m=0．

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系、三角形面積的計算，考查計算能力，屬于中檔題．