【題目】已知橢圓：的離心率，且過焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為3.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，求的內(nèi)切圓半徑的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用離心率，過焦點(diǎn)最短的弦為通徑以及解方程組即可求解.

（2）根據(jù)橢圓的定義設(shè)的內(nèi)切圓的半徑最大轉(zhuǎn)化為最大，，由題意知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入面積式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，借助函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

（1）由題意可得，解得，，．

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，

因?yàn)?/span>的周長(zhǎng)為，，

因此最大，就最大．

，

由題意知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由得，

所以，．

又因直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，故，

即，，

則．

令，則，

，

令，

由函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，

即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此有，所以，

即當(dāng)，時(shí)，最大，此時(shí)，

故當(dāng)直線的方程為時(shí)，內(nèi)切圓半徑的最大值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】西安市自2017年5月啟動(dòng)對(duì)“車不讓人行為”處罰以來(lái)，斑馬線前機(jī)動(dòng)車搶行不文明行為得以根本改變，斑馬線前禮讓行人也成為了一張新的西安“名片”.

但作為交通重要參與者的行人，闖紅燈通行卻頻有發(fā)生，帶來(lái)了較大的交通安全隱患及機(jī)動(dòng)車通暢率降低，交警部門在某十字路口根據(jù)以往的檢測(cè)數(shù)據(jù)，得到行人闖紅燈的概率約為0.4，并從穿越該路口的行人中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，對(duì)是否存在闖紅燈情況得到列聯(lián)表如下：

30歲以下

30歲以上

合計(jì)

闖紅燈

60

未闖紅燈

80

合計(jì)

200

近期，為了整頓“行人闖紅燈”這一不文明及項(xiàng)違法行為，交警部門在該十字路口試行了對(duì)闖紅燈行人進(jìn)行經(jīng)濟(jì)處罰，并從試行經(jīng)濟(jì)處罰后穿越該路口行人中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，得到下表：

處罰金額（單位：元）

5

10

15

20

闖紅燈的人數(shù)

50

40

20

0

將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得頻率代替概率，完成下列問題.

（Ⅰ）將列聯(lián)表填寫完整（不需寫出填寫過程），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析，在未試行對(duì)闖紅燈行人進(jìn)行經(jīng)濟(jì)處罰前，是否有99.9%的把握認(rèn)為闖紅燈與年齡有關(guān)；

（Ⅱ）當(dāng)處罰金額為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少；

（Ⅲ）結(jié)合調(diào)查結(jié)果，談?wù)勅绾沃卫硇腥岁J紅燈現(xiàn)象.

參考公式： ，其中

參考數(shù)據(jù)：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.132

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的方程為，過作動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為.

（1）若與重合，求直線的方程；

（2）求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在圓錐中，，是上的動(dòng)點(diǎn)，是的直徑，，是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，記二面角，的平面角分別為，，若，則的最大值是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)的最小正周期是

②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)

③函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

④函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校學(xué)生會(huì)為了解高二年級(jí)600名學(xué)生課余時(shí)間參加中華傳統(tǒng)文化活動(dòng)的情況（每名學(xué)生最多參加7場(chǎng)）.隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：

參加場(chǎng)數(shù)

0

1

2

3

4

5

6

7

占調(diào)查人數(shù)的百分比

8%

10%

20%

26%

18%

m%

4%

2%

則以下四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）

A.表中m的數(shù)值為10

B.估計(jì)該年級(jí)參加中華傳統(tǒng)文化活動(dòng)場(chǎng)數(shù)不高于2場(chǎng)的學(xué)生約為108人

C.估計(jì)該年級(jí)參加中華傳統(tǒng)文化活動(dòng)場(chǎng)數(shù)不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為216人

D.若采用系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，從該校高二600名學(xué)生中抽取容量為30的樣本，則分段間隔為15

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若無(wú)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)、，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓O；x2+y2=4，F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點(diǎn)D圓O上一動(dòng)點(diǎn)，2=，點(diǎn)C在直線EF1上，且=0，記點(diǎn)C的軌跡為曲線W．

（1）求曲線W的方程；

（2）已知N（4，0），過點(diǎn)N作直線l與曲線W交于A，B不同兩點(diǎn)，線段AB的中垂線為l'，線段AB的中點(diǎn)為Q點(diǎn)，記P與y軸的交點(diǎn)為M，求|MQ|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為響應(yīng)黨中央號(hào)召，學(xué)校以“我們都是追夢(mèng)人”為主題舉行知識(shí)競(jìng)賽�，F(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，王同學(xué)從中任取3道題解答.

（Ⅰ）求王同學(xué)至少取到2道乙類題的概率;

（Ⅱ）如果王同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是，答對(duì)每道乙類題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立，已知王同學(xué)恰好選中2道甲類題，1道乙類題，用表示王同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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