Question

10．設(shè)二項(xiàng)式${（{x-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^6}$展開式中的常數(shù)項(xiàng)為a，則$\int_0^{\frac{π}{2}}{cos\frac{ax}{5}dx}$的值為-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式可得a，再利用微積分基本定理即可得出．

解答 解：二項(xiàng)式${（{x-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^6}$展開式中的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$${x}^{6-r}（-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{6-\frac{3r}{2}}$．
令6-$\frac{3r}{2}$=0，解得r=4．
∴常數(shù)項(xiàng)a=${∁}_{6}^{4}$=15，
則$\int_0^{\frac{π}{2}}{cos\frac{ax}{5}dx}$=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cos3xdx=$\frac{1}{3}sin3x{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-$\frac{1}{3}$．
故答案為：-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式、微積分基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．