Question

20．把一個(gè)周長(zhǎng)為12 cm的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱的底面周長(zhǎng)與高的比為2：1．

Answer 1

分析 設(shè)圓柱高為x，即長(zhǎng)方形的寬為x，則圓柱底面周長(zhǎng)即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6-x，圓柱底面半徑：R=$\frac{6-x}{2π}$，圓柱的體積V，利用導(dǎo)數(shù)法分析出函數(shù)取最大值時(shí)的x值，進(jìn)而可得答案．

解答 解：設(shè)圓柱高為x，即長(zhǎng)方形的寬為x，
則圓柱底面周長(zhǎng)即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為$\frac{12-2x}{2}$=6-x，
∴圓柱底面半徑：R=$\frac{6-x}{2π}$
∴圓柱的體積V=πR²h=π（$\frac{6-x}{2π}$）²x=$\frac{{x}^{3}-12{x}^{2}+36x}{4π}$，
∴V′=$\frac{3{x}^{2}-24x+36}{4π}$=$\frac{3（x-2）（x-6）}{4π}$，
當(dāng)x＜2或x＞6時(shí)，V′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)2＜x＜6時(shí)，V′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞6時(shí)，函數(shù)無(wú)實(shí)際意義
∴x=2時(shí)體積最大
此時(shí)底面周長(zhǎng)=6-2=4，
該圓柱底面周長(zhǎng)與高的比：4：2=2：1
故答案為：2：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，圓柱的幾何特征，其中將圓柱的體積表示為x的函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵．