Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓C與y軸交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PA，PB與直線x=4分別交于M、N兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)（2，0）？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式，以及a，b，c的關(guān)系，計(jì)算即可得到所求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，可得A（0，1），B（0，-1），設(shè)M（4，s），N（4，t），運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，求得M，N的坐標(biāo)，再由直徑所對(duì)的圓周角為直角，運(yùn)用垂直的條件：斜率之積為-1，計(jì)算即可求得m，檢驗(yàn)即可判斷是否存在．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2b=2，即b=1，
又a²-c²=1，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，
即有n²=1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
由題意可得A（0，1），B（0，-1），設(shè)M（4，s），N（4，t），
由P，A，M共線可得，k_PA=k_MA，即為$\frac{n-1}{m}$=$\frac{s-1}{4}$，
可得s=1+$\frac{4（n-1）}{m}$，
由P，B，N共線可得，k_PB=k_NB，即為$\frac{n+1}{m}$=$\frac{t+1}{4}$，
可得s=$\frac{4（n+1）}{m}$-1．
假設(shè)存在點(diǎn)P，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)Q（2，0）．
可得QM⊥QN，即有$\frac{s}{2}$•$\frac{t}{2}$=-1，即st=-4．
即有[1+$\frac{4（n-1）}{m}$][$\frac{4（n+1）}{m}$-1]=-4，
化為-4m²=16n²-（4-m）²=16-4m²-（4-m）²，
解得m=0或8，
由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式，考查存在性問題的解法，注意運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．