7.已知(a+1)x-1-lnx≤0對(duì)于任意x∈[$\frac{1}{2}$,2]恒成立,則a的最大值為1-2ln2.

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a( $\frac{1+lnx}{x}$-1)min對(duì)于任意x∈[$\frac{1}{2}$,2]恒成立,設(shè)f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$-1,求出函數(shù)f(x)的最小值即可求出a的最大值.

解答 解:(a+1)x-1-lnx≤0對(duì)于任意x∈[$\frac{1}{2}$,2]恒成立
?a≤$\frac{1+lnx}{x}$-1對(duì)于任意x∈[$\frac{1}{2}$,2]恒成立
?a≤( $\frac{1+lnx}{x}$-1)min對(duì)于任意x∈[$\frac{1}{2}$,2]恒成立
設(shè)f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$-1,x∈[$\frac{1}{2}$,2],則f′(x)=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$,
令f′(x)>0,解得:$\frac{1}{2}$≤x<1,令f′(x)>0,解得:1<x≤2,
∴f(x)在[$\frac{1}{2}$,1)遞增,在(1,2]遞減,
∴f($\frac{1}{2}$)或f(2)最小,
而f($\frac{1}{2}$)=1-2ln2,f(2)=$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$,
∴f($\frac{1}{2}$)<f(2),
∴a的最大值是1-2ln2,
故答案為:1-2ln2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,著重考查構(gòu)造函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與導(dǎo)數(shù)法求極值的綜合應(yīng)用,求得f(x)的最小值是關(guān)鍵,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

17.已知m∈[0,3],則函數(shù)f(x)=2|x|-m存在零點(diǎn)的概率為( 。
A.$\frac{3}{4}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{1}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

18.已知函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-a)(a∈R)在x=$\frac{5}{3}$處取得極值.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[0,3]的最大值與最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x-1.
(I)當(dāng)x≠1時(shí),證明:f(x)<g(x)
(II)證明不等式:ln2+$\frac{ln3}{2}$+…+$\frac{ln(n+1)}{n}$<n.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

2.已知函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+a.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最小值為20,求它在該區(qū)間上的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

12.若函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3-x在(2m,1-m)上有最大值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1,-$\frac{1}{2}$).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

19.已知f(x)=xlnx-$\frac{1}{2}a$x2+a.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)F(x)=f(x)-x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2
(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(ii)求證:f(x2)>$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

16.已知向量$\overrightarrow{OM}$=(-2,3),$\overrightarrow{ON}$=(-1,-5),則$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{MN}$=($\frac{1}{2}$,-4).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

17.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,A(1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)為橢圓上一點(diǎn),AF交y軸于點(diǎn)M,且M為AF的中點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(II)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)A,平行于OA的直線交l于P,交橢圓C于不同的兩點(diǎn)D,E,問(wèn)是否存在常數(shù)λ,使得|PA|2=λ|PD|•|PE|,若存在,求出λ的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案