分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a( $\frac{1+lnx}{x}$-1)min對(duì)于任意x∈[$\frac{1}{2}$,2]恒成立,設(shè)f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$-1,求出函數(shù)f(x)的最小值即可求出a的最大值.
解答 解:(a+1)x-1-lnx≤0對(duì)于任意x∈[$\frac{1}{2}$,2]恒成立
?a≤$\frac{1+lnx}{x}$-1對(duì)于任意x∈[$\frac{1}{2}$,2]恒成立
?a≤( $\frac{1+lnx}{x}$-1)min對(duì)于任意x∈[$\frac{1}{2}$,2]恒成立
設(shè)f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$-1,x∈[$\frac{1}{2}$,2],則f′(x)=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$,
令f′(x)>0,解得:$\frac{1}{2}$≤x<1,令f′(x)>0,解得:1<x≤2,
∴f(x)在[$\frac{1}{2}$,1)遞增,在(1,2]遞減,
∴f($\frac{1}{2}$)或f(2)最小,
而f($\frac{1}{2}$)=1-2ln2,f(2)=$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$,
∴f($\frac{1}{2}$)<f(2),
∴a的最大值是1-2ln2,
故答案為:1-2ln2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,著重考查構(gòu)造函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與導(dǎo)數(shù)法求極值的綜合應(yīng)用,求得f(x)的最小值是關(guān)鍵,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |
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