2.長度都為2的向量$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$的夾角為60°,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧$\widehat{AB}$(劣。┥,$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$,則m+n的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

分析 對 $\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$兩邊平方并根據(jù)已知條件可得到(m+n)2-1=mn,因為根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知,x,y>0,結(jié)合基本不等式求出m+n的最大值.

解答 解:由已知條件知:$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$,
兩邊平方可得4=4m2+4mn+4n2=4(m+n)2-4mn,
∴(m+n)2-1=mn,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,容易判斷出m,n>0,
∴(m+n)2-1=mn≤$\frac{1}{4}$(m+n)2,∴$\frac{3}{4}(m+n)^{2}$≤1,∴m+n≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,即m+n的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
故答案為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

點(diǎn)評 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計算公式,向量加法的平行四邊形法則,基本不等式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知非零向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$的夾角為60°,且|$\overrightarrow{a}$|=1,|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1,則|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.(1)求證:函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,$\sqrt{a}$]上是減函數(shù),在[$\sqrt{a}$,+∞)上是增函數(shù).
(2)若f(x)=$\frac{{4{x^2}-12x-3}}{2x+1}$,x∈[0,1],利用上述性質(zhì),求函數(shù)f(x)的值域;
(3)對于(2)中的函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)=-x-2a,若對任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1),求實數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知p:-x2+4x+32≥0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).
(1)若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.
(2)若“¬p”是“¬q”的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.

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17.若實數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{y≤2}\\{x+y≥2}\end{array}\right.$,則目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{y}{x+1}$的最大值是2.

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7.以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中:其中真命題為④(寫出所有真命題的序號)
①A、B為不同的兩個定點(diǎn),K為非零常數(shù),若|PA|-|PB|=K,則動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.
②平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.
③平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.
④已知拋物線y2=2px,以過焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓,則此圓與準(zhǔn)線相切.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.如圖,四棱錐PABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為2$\sqrt{17}$.點(diǎn)G,E,F(xiàn),H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點(diǎn),平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.若EB=2,則四邊形GEFH的面積為( 。
A.16B.17C.18D.19

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.某三棱錐的三視圖如圖,該三棱錐的體積是( 。
A.2B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{4}{3}$D.1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+x2+ax和函數(shù)g(x)=e-x,若對任意x1∈[$\frac{1}{2}$,2],存在x2∈[$\frac{1}{2}$,2],使f′(x1)≤g(x2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是(  )
A.(-∞,$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8]B.[$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8,+∞)C.[$\sqrt{2}$,e)D.(-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{e}{2}$)

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