Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₅=3，前3項(xiàng)和S₃為$\frac{9}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）令$_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{4}{（n+1）（n+3）}$=2（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$），利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）在等差數(shù)列{a_n}中設(shè)首項(xiàng)為a₁，公差為d，
∵a₅=3，前3項(xiàng)和S₃為$\frac{9}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=3}\\{3{a}_{1}+\frac{3×2d}{2}=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=1，d=\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}（n+1）$．
（2）令$_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{4}{（n+1）（n+3）}$=2（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$），
∴數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$}的前n項(xiàng)和：
T_n=2（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$）
=2（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$）
=$\frac{n（5n+13）}{3（n+2）（n+3）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．