5.如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為a,D是側(cè)棱CC1的中點.
(1)求證:平面AB1D⊥平面ABB1A1
(2)求平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大。

分析 (1)取AB1的中點E,AB的中點F.連接DE、EF、CF.證明DE的平行線CF垂直平面ABB1A1,內(nèi)的相交直線AB,BB1,即可證明平面AB1D⊥平面ABB1A1;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面AB1D的一個法向量,以及平面ABC的一個法向量,利用向量的數(shù)量積求平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大小.

解答 證明:(1)取AB1的中點E,AB的中點F.
連接DE、EF、CF.
∵直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為a,D是側(cè)棱CC1的中點,
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB1,CD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB1
∴四邊形CDEF為平行四邊形,∴DE∥CF.
又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱.
△ABC為正三角形.CF?平面ABC,
∴CF⊥BB1,CF⊥AB,而AB∩BB1=B,∴CF⊥平面ABB1A1,
又DE∥CF,∴DE⊥平面ABB1A1
又DE?平面AB1D.所以平面AB1D⊥平面ABB1A1
解:(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A($\frac{\sqrt{3}a}{2}$,$\frac{a}{2}$,0),C(0,a,0),D(0,a,$\frac{a}{2}$)B1(0,0,a),B(0,0,0),
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$,-$\frac{a}{2}$,a),$\overrightarrow{AD}$=(-$\frac{\sqrt{3}a}{2},\frac{a}{2},\frac{a}{2}$),
設(shè)$\overrightarrow{n}$=(1,x,y)為平面AB1D的一個法向量.
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-\frac{\sqrt{3}a}{2}-\frac{ax}{2}+ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-\frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{ax}{2}+\frac{ay}{2}=0}\end{array}\right.$,解得$\overrightarrow{n}$=(1,$\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$),
平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=(0,0,1).
設(shè)平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{8}{3}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴θ=$\frac{π}{4}$.
∴平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大小為$\frac{π}{4}$.

點評 本題考查平面與平面垂直的判定,二面角及其度量,考查空間想象能力,計算能力,是中檔題.證明平面與平面垂直主要轉(zhuǎn)化為證明一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面垂直即可,而證明直線與平面垂直,只需證明此直線與平面圖內(nèi)的兩條相交直線垂直;求二面角的大小新教材主要要求學(xué)生掌握用空間向量的方法來求:第一步建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,并設(shè)出點的坐標(biāo);第二步分別求出二面角的兩個面的一個法向量;第三步代公式$cos\left?{\overrightarrow m,\overrightarrow n}\right>=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$即可求得,注意運算的準(zhǔn)確性.

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