Question

19．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為a，點P是側(cè)棱AA₁的中點，BC₁∩B₁C=S
（1）作出平面PBC₁與平面ABC的公共直線；（不寫做法，保留作圖痕跡），并證明：PS∥面ABC；
（2）求四棱錐P-BB₁C₁C的體積．

Answer 1

分析 （1）BD為兩面的交線．證明PS∥BD再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得PS∥面ABC；
（2）由題意證明PS⊥面BB₁C₁C，再根據(jù)四棱錐P-BB₁C₁C的體積公式，運算求得結(jié)果．

解答 （1）做法如圖：BD為兩面的交線．
證明：因為P是AA₁的中點，PA∥CC₁，
所以P是CD中點，
又S是中點，所以PS∥BD，
因為BD?面ABC，PS?面ABC，
所以PS∥面ABD，即PS∥面ABC．
（2）因為在△BCD中AC=AD=AB，
因此以CD為直徑的圓過點B，
所以BD⊥BC，
又因為直棱柱中因此BD⊥BB₁，且BC∩BB₁=B
所以BD⊥面BB₁C₁C，PS⊥面BB₁C₁C，
所以${V_{P-B{B_1}{C_1}C}}=\frac{1}{3}{S_{B{B_1}{C_1}C}}PS=\frac{1}{3}{a^2}.\frac{{\sqrt{3}}}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{a^3}$．

點評 本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，求四棱錐的體積，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．