Question

15．類比實數(shù)的運算性質(zhì)猜想復數(shù)的運算性質(zhì)：
①“mn=nm”類比得到“z₁z₂=z₂z₁”；
②“|m•n|=|m|•|n|”類比得到“|z₁•z₂|=|z₁|•|z₂|”；
③“|x|=1⇒x=±1”類比得到“|z|=1⇒z=±1”
④“|x|²=x²”類比得到“|z|²=z²”
以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②．

Answer 1

分析 根據(jù)類比的性質(zhì)結(jié)合復數(shù)的基本運算分別進行判斷即可．

解答 解：設z₁=a+bi，z₂=c+di，z=x+yi
①“mn=nm”類比得到“z₁z₂=z₂z₁”；正確，∵z₁z₂=（a+bi）（c+di）=ac-bd+（ad+bc）i，z₂z₁=ac-bd+（ad+bc）i，∴z₁z₂=z₂z₁成立；
②“|m•n|=|m|•|n|”類比得到“|z₁•z₂|=|z₁|•|z₂|”；正確，∵z₁z₂=（a+bi）（c+di）=ac-bd+（ad+bc）i，
則|z₁z₂|=$\sqrt{（ac-bd）^{2}+（ad+bc）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}{c}^{2}+^{2}y2gmigg^{2}+{a}^{2}u8mg6es^{2}+^{2}{c}^{2}}$，|z₁|•|z₂|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$•$\sqrt{{c}^{2}+oc0ee06^{2}}$=$\sqrt{（{a}^{2}+^{2}）（{c}^{2}+g8wuosq^{2}）}$=$\sqrt{{a}^{2}{c}^{2}+^{2}oyseey0^{2}+{a}^{2}866smk0^{2}+^{2}{c}^{2}}$，
則“|z₁•z₂|=|z₁|•|z₂|”；成立，
③“|x|=1⇒x=±1”類比得到“|z|=1⇒z=±1”錯誤，當z=cosθ+isinθ時，也滿足|z|=1，故③錯誤，
④“|x|²=x²”類比得到“|z|²=z²”錯誤比如當x=i時，不成立，
故答案為：①②

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及復數(shù)的基本運算和性質(zhì)以及類比推理，根據(jù)復數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．