Question

在平面直角坐標系中，已知，若實數(shù)λ使得（O為坐標原點）
（1）求P點的軌跡方程，并討論P點的軌跡類型；
（2）當時，若過點B（0，2）的直線l與（1）中P點的軌跡交于不同的兩點E，F(xiàn)（E在B，F(xiàn)之間），試求△OBE與OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知點的坐標，分別表示出代入中即可求得x和y的關(guān)系式，根據(jù)λ的值的不同判斷出方程表示的不同軌跡．
（2）把λ代入（1）中求得軌跡方程，可知其軌跡為橢圓，進而分別表示出△OBE和△OBF的面積，設(shè)出EF的直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁•x₂代入中根據(jù)k的范圍確定，進而求得兩三角形面積之比．
解答：解：（1）
∵∴（x²-2）λ²=x²-2+y²化簡得：（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²）
①λ=±1時方程為y=0軌跡為一條直線
②λ=0時方程為x²+y²=2軌跡為圓
③λ∈（-1，0）∪（0，1）時方程為軌跡為橢圓
④．λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時方程為軌跡為雙曲線
（2）∵點軌跡方程為，
∴
∴S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|
設(shè)直線EF直線方程為y=kx+2，聯(lián)立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0．
∴，
∴
∴
由題意可知：S_△OBE＜S_△OBF，所以．
點評：本題主要考查了軌跡方程，直線與橢圓的關(guān)系．考查了學生綜合分析問題的能力．