Question

12．如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD的中點，以AE為折痕將△ADE向上折起，使D到P點位置，且PC=PB．
（1）若F是BP的中點，求證：CF∥平面APE；
（2）求證：平面APE⊥平面ABCE．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點Q，連結(jié)EQ，F(xiàn)Q，使用中位線定理證明FQ$\stackrel{∥}{=}$CE，得出四邊形CEQF是平行四邊形，得出CF∥EQ，故而CF∥平面PAE；
（2）取BC的中點N，AE的中點M，連結(jié)PM，PN，MN．則可證BC⊥平面PMN得出BC⊥PM，又PM⊥AE得出PM⊥平面ABCE，于是平面APE⊥平面ABCE．

解答 證明：（1）取PA的中點Q，連結(jié)EQ，F(xiàn)Q
∵F，Q分別是PB，PA的中點，
∴FQ$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∵四邊形ABCD是矩形，E是AD的中點，
∵EC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴EC$\stackrel{∥}{=}$FQ，
∴四邊形CEQF是平行四邊形，
∴CF∥EQ，
又CF?平面PAE，EQ?平面PAE，
∴CF∥平面PAE．
（2）取BC的中點N，AE的中點M，連結(jié)PM，PN，MN．
∵PB=PC，N是BC的中點，
∴PN⊥BC，
又M，N是BC，AE的中點，BC⊥AB，
∴MN∥BC，又MN?平面PMN，PN?平面PMN，MN∩PN=N，
∴BC⊥平面PMN，∵PM?平面PMN，
∴BC⊥PM．
∵CD=2AD，E是CD的中點，
∴PA=PE，∵M(jìn)是AE的中點，
∴PM⊥AE，又AE?平面ABCE，BC?平面ABCE，BC與AE相交，
∴PM⊥平面ABCE，又PM?平面PAE，
∴平面PAE⊥平面ABCE．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，構(gòu)造平行或垂直是證明此類題目的關(guān)鍵，屬于中檔題．