Question

1．四邊形ABCD中，AC⊥BD且AC=2，BD=3，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的最小值為-$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 通過建立坐標系，設C（a，0），D（0，b），利用數(shù)量積的坐標運算得出數(shù)量積關于a，b的函數(shù)，求出函數(shù)的最小值．

解答 解：設AC與BD交點為O，以O為原點，AC，BD為坐標軸建立平面直角坐標系，
設C（a，0），D（0，b），則A（a-2，0），B（0，b-3），
∴$\overrightarrow{AB}$=（2-a，b-3），$\overrightarrow{CD}$=（-a，b）．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=a（a-2）+b（b-3）=（a-1）²+（b-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{13}{4}$．
∴當a=1，b=$\frac{3}{2}$時，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$取得最小值-$\frac{13}{4}$．
故答案為：-$\frac{13}{4}$．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算，涉及向量的坐標運算和向量的模的計算以及向量的夾角公式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．