Question

14．已知函數(shù)f（x）=-x³+3ax²-4（a∈R）．
（1）若a≠0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=b處取得極值-$\frac{7}{2}$，且g（x）=f（x）+mx在[0，2]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a≠0，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用函數(shù)f（x）在x=b處取得極值-$\frac{7}{2}$，求出f（x）的解析式，根據(jù)g（x）=f（x）+mx在[0，2]上單調(diào)遞減，利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-x³+3ax²-4，
∴f′（x）=-3x²+6ax=-3x（x-2a），
若a＞0，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0），（2a，+∞），單調(diào)增區(qū)間是（0，2a）；
a若＜0，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，2a），（0，+∞），單調(diào)增區(qū)間是（2a，0）；
（2）由（1）可知，b=2a，f（b）=-$\frac{7}{2}$，可得a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=-x³+$\frac{3}{2}$x²-4，
∴g（x）=-x³+$\frac{3}{2}$x²-4+mx，
依題意，g′（x）=-3x²+3x+m≤0在區(qū)間[0，2]上恒成立，
x=0式滿足；
x≠0時(shí)，-3x²+3x+m≤0，即△=3²-4×（-3）×m=9+12m＜0
解得m＜-$\frac{3}{4}$
∴m≤-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問(wèn)題，正確求出導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵．