Question

6．以直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.$，（t為參數(shù)，0＜θ＜π），曲線C的極坐標方程為ρsin²α-2cosα=0．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，當θ變化時，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程轉(zhuǎn)化為ρ²sin²α=2ρcosα，由此能求出曲線C的直角坐標方程．
（2）把直線的參數(shù)方程化入y²=2x，得t²sin²θ-2tcosθ-1=0，設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，由此能求出當$θ=\frac{π}{2}$時，|AB|取最小值2．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程為ρsin²α-2cosα=0，
∴ρ²sin²α=2ρcosα，
∴曲線C的直角坐標方程為y²=2x．
（2）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.$，（t為參數(shù)，0＜θ＜π），
把直線的參數(shù)方程化入y²=2x，得t²sin²θ-2tcosθ-1=0，
設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，t₁•t₂=-$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$，
|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$
=$\sqrt{\frac{4co{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ}+\frac{4}{si{n}^{2}θ}}$=$\frac{2}{si{n}^{2}θ}$，
∴當$θ=\frac{π}{2}$時，|AB|取最小值2．

點評 本題考查曲線的直角坐標方程的求法，考查弦長的最小值的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．