Question

6．若函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在x=1處取得極值．
（1）求b的值．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值得關(guān)系即可求出b的值，
（2）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再讓其導(dǎo)函數(shù)大于0對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間，小于0對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間．）
（3）由（2）可知f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，即可求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx，x＞0
∴f′（x）=-x+$\frac{x}$，
∵函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在x=1處取得極值，
∴1是-x+$\frac{x}$=0的根，
∴-1+b=0，
解得b=1；
（2）由于f′（x）=-x+$\frac{1}{x}$，
令f′（x）=f′（x）=-x+$\frac{1}{x}$=0，解得x=1或x=-1（舍去），
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即x＞1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx，
由（2）可知f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值最值的關(guān)系，屬于中檔題．