16.已知函數(shù)f(x)=2x+sinx+ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$+x),若不等式f(3x-9x)+f(m•3x-3)<0對任意x∈R均成立,則m的取值范圍為(  )
A.(-∞,2$\sqrt{3}$-1)B.(-∞,-2$\sqrt{3}$+1)C.(-2$\sqrt{3}$+1,2$\sqrt{3}$-1)D.(-2$\sqrt{3}$+1,+∞)

分析 由函數(shù)解析式可得函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,把不等式不等式f(3x-9x)+f(m•3x-3)<0對任意x∈R均成立轉化為m<$\frac{3}{{3}^{x}}+{3}^{x}$-1恒成立,然后利用基本不等式求得其取值范圍.

解答 解:∵f(x)=2x+sinx+ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$+x),其定義域為R,
且f(-x)=-2x+sin(-x)+ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$-x)=-(2x+sinx+ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$+x)=-f(x),
∴f(x)為實數(shù)集上的奇函數(shù),
又f′(x)=2+cosx+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$>0在實數(shù)集上恒成立,
∴f(x)為實數(shù)集上的增函數(shù).
∵不等式f(3x-9x)+f(m•3x-3)<0對任意x∈R均成立,
∴不等式f(3x-9x)<-f(m•3x-3)對任意x∈R均成立,
∴不等式f(3x-9x)<f(-m•3x+3)對任意x∈R均成立,
∵f(x)為實數(shù)集上的增函數(shù),
∴3x-9x<-m•3x+3,
∴m<$\frac{3}{{3}^{x}}+{3}^{x}$-1,
∵$\frac{3}{{3}^{x}}+{3}^{x}$-1≥2$\sqrt{3}$-1,
∴m<2$\sqrt{3}$-1,
故選:A.

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及圓的有關知識,解決問題的關鍵是把“數(shù)”的問題轉化為“形”的問題,借助于圖形的幾何意義減少了運算量,體現(xiàn)數(shù)形結合、轉化與化歸思想在解題中的應用,是中檔題.

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