Question

18．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若x＞-1，求證：ln（x+1）≤x．

Answer 1

分析 （1）先求出其導函數(shù)，再讓其導函數(shù)大于0對應區(qū)間為增區(qū)間，小于0對應區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間．）
（2）根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可證明．

解答 解：（1）f（x）=ln（x+1）-x的定義域為（-1，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=-$\frac{x}{x+1}$
由f′（x）＜0，解得x＞0，函數(shù)單調(diào)遞減．
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
（2）證明：由（1）知，當x∈（-1，0）時，f′（x）＞0，
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，
因此，當x＞-1時，f（x）≤f（0），
即ln（x+1）-x≤0，
∴l(xiāng)n（x+1）≤x．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)的最值和單調(diào)性，以及不等式證明等問題，屬于中檔題．