Question

6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，且滿足$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{2a+c}$．
（1）求B的大�。�
（2）若a=2，$S=\sqrt{3}$，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合和角的三角函數(shù)，進行化簡即可求角B的大小；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理以及三角形的面積公式進行化簡求解即可．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理及$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{2a+c}$，可得$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{sinB}{2sinA+sinC}$，
即cosB（2sinA+sinC）=-sinBcosC，
整理，可得2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC-2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
由于sinA≠0
所以$cosB=-\frac{1}{2}$，
因為0＜B＜π，
所以$B=\frac{2π}{3}$…（6分）
（2）由a=2，$B=\frac{2π}{3}$，$S=\frac{1}{2}acsinB=\sqrt{3}$，可得ac=4，
從而c=2，
由余弦定理，可得b²=a²+c²-2accosB=12，
所以$b=2\sqrt{3}$，
所以$a+b+c=4+2\sqrt{3}$，
故△ABC的周長為$a+b+c=4+2\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用正弦定理和余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．