Question

10．已知等比數列{a_n}的各項都為正數，其前n項和為S，且S₃=42，16a₂•a₆=a₃•a₇．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）}$，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）設等比數列{a_n}的公比為q（q＞0），由已知列式求得首項和公比，代入等比數列的通項公式得答案；
（2）把（1）中求得的數列{a_n}的通項公式代入b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）}$，由T_n≥T₁證明不等式左邊，再由裂項相消法證明右邊．

解答 （1）解：設等比數列{a_n}的公比為q（q＞0），
由S₃=42，16a₂•a₆=a₃•a₇，得
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）=42}\\{16{{a}_{1}}^{2}{q}^{6}={{a}_{1}}^{2}{q}^{8}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=4}\end{array}\right.$．
∴${a}_{n}=2•{4}^{n-1}={2}^{2n-1}$；
（2）證明：b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）}$
=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{2}^{2n-1}）•（lo{g}_{2}{2}^{2n+1}）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∵數列{$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$}的各項均為正數，
∴T_n≥${T}_{1}=\frac{1}{3}$；
T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2（2n+1）}＜\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查等比數列的通項公式，考查了裂項相消法求數列的前n項和，是中檔題．