Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為梯形，CD∥AB，AB=2CD，AC交BD于O，銳角△PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上，且PQ=2QC．

（1）求證：PA∥平面QBD；
（2）求證BD⊥AD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OQ，因?yàn)锳B∥CD，AB=2 CD，

所以AO=2OC，又PQ=2QC，

所以PA∥OQ，

又OQ平面QBD，PA平面QBD，

所以PA∥平面QBD

（2）

證明：在平面PAD內(nèi)過P作PH⊥AD于H，因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， PH平面PAD，所以PH⊥平面ABCD
又BD平面ABCD，所以PH⊥BD，又PA⊥BD，
且PA和PH是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，所以BD⊥平面PAD，
又AD平面PAD，所以BD⊥AD．

【解析】（1）連接OQ，可得PA∥OQ，即可證得PA∥平面QBD．
（2）在平面PAD內(nèi)過P作PH⊥AD于H，可得PH⊥平面ABCD，即可得PH⊥BD，可得到以BD⊥平面PAD，即BD⊥AD．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行才能正確解答此題．