Question

11．已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x+$\frac{2}{x-1}$．
（1）當x∈（1，+∞）時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）求不等式f（x）≥-2的解集．

Answer 1

分析 （1）當x∈（1，+∞）時，利用導數(shù)法，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得：當x=1+$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）取最小值；
（2）f（x）≥-2可化為：$\frac{x（x+1）}{x-1}$≥0，解得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{2}{x-1}$，
∴f′（x）=1-$\frac{2}{（x-1）^{2}}$，
當x∈（1，+∞）時，當f′（x）=0，則x=1+$\sqrt{2}$，
當x∈（1，1+$\sqrt{2}$）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當x∈（1+$\sqrt{2}$，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
故當x=1+$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）取最小值1+2$\sqrt{2}$；
（2）f（x）≥-2可化為：x+2+$\frac{2}{x-1}$≥0，
即$\frac{x（x+1）}{x-1}$≥0，
解得：x∈[-1，0]∪（1，+∞）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，導數(shù)法求函數(shù)的最值，解不等式，難度中檔．