Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為a₁、公比q（q≠1）為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且有5S₂=4S₄，設(shè)b_n=q+S_n．
（1）求q的值；
（2）若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求出a₁的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意5S₂=4S₄，結(jié)合求和公式可得q的方程，解方程可得q；（2）把S_n=2a₁-a₁（

1

2

）^n-1代入b_n=q+S_n=

1

2

+2a₁-a₁（

1

2

）^n-1，由等比數(shù)列可得a₁的方程，解方程可得．

解答： 解：（1）由題意知5S₂=4S₄，S₂=

a1(1-q2)

1-q

，S₄=

a1(1-q4)

1-q

，
∴5（1-q²）=4（1-q⁴），又q＞0，∴q=

1

2

．
（2）∵S_n=

a1(1-qn)

1-q

=2a₁-a₁（

1

2

）^n-1，
∴b_n=q+S_n=

1

2

+2a₁-a₁（

1

2

）^n-1，
若{b_n}是等比數(shù)列，則

1

2

+2a₁=0，
解得a₁=-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的求和公式和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．