Question

定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m是整數(shù)），則m叫做距實數(shù)x最近的整數(shù)，記作（x），即（x）=m，對于函數(shù)f（x）=|x-（x）|的五個命題，其中正確的有

 

（寫出所有正確命題的序號）．
①函數(shù)y=f（x）的值域是[0，+∞）；
②函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)且最小正周期是1；
④函數(shù)y=f（x）的遞增區(qū)間是[k，k+

1

2

]，k∈z；
⑤函數(shù)y=f（x）-lgx有4個零點．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)解析式易用分析法求出函數(shù)的值域判斷①的正誤；通過函數(shù)的奇偶性的定義判斷②的正誤；通過判斷f（x+1）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；通過函數(shù)的周期性以及函數(shù)的圖象判斷④的正誤；利用函數(shù)的零點通過數(shù)形結(jié)合來判斷⑤的正誤．

解答： 解：①中，函數(shù)f（x）=|x-（x）|=|x-m|，令x=m+a，a∈[-

1

2

，

1

2

）
∴f（x）=|[x]-x|=|m-（m+a）|=|a|∈[0，

1

2

]，
所以①不正確；
②中，∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（m∈Z），
∴-m-

1

2

≤-x＜-m+

1

2

（m∈Z）
∴f（-x）=|-x-（-x）|=|-（-m）-x|=|x-m|，f（x）=|x-（x）|=|x-m|
∴f（-x）=f（x）所以②正確．
③中，∵f（x+1）=|x+1-（x+1）|=|x-（x）|=f（x）
所以周期為1，故③正確；
④中，由題意x-（x）=x-m，f（x）=|x-（x）|=|x-m|，
m=0時，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，
m=1時，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2時，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
由函數(shù)的周期性以及函數(shù)的圖象可知，
函數(shù)y=f（x）的遞增區(qū)間是[k，k+

1

2

]，k∈z；
∴④正確．
⑤中，函數(shù)y=f（x）-lgx=|x-m|-lgx，令|x-m|-lgx=0，可得：y=|x-m|，y=lgx．當(dāng)x≥

10

，lgx≥

1

2

，由兩個函數(shù)的圖象可知，兩個函數(shù)有4個交點，即有4個零點，故⑤正確．
綜上所述，②③④⑤正確．
故答案為：②③④⑤．

點評：本題考查的知識點是利用函數(shù)的三要素、性質(zhì)判斷命題的真假，要根據(jù)定義中給出的函數(shù)，結(jié)合求定義域、值域的方法，及對稱性、周期性和單調(diào)性的證明方法，函數(shù)的零點的判斷方法，對5個結(jié)論進(jìn)行驗證．