【題目】已知遞增數(shù)列{an}n項(xiàng)和為Sn,且滿足a134Sn4n+1an2,設(shè)bnnN*)且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn

(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;

(Ⅱ)若對(duì)任意的nN*,不等式λTnn(﹣1)n+1恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(﹣,14).

【解析】

(Ⅰ)當(dāng)n≥2時(shí),由4Sn4n+1an2,類比可得4Sn14n1)+1an12,兩式相減,再化簡(jiǎn)整理可得(an+an12)(anan12)=0,即an+an120,或anan120,根據(jù)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列可排除不符合題意的一項(xiàng),即可證明結(jié)論;

(Ⅱ)先根據(jù)第(Ⅰ)題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,以及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出Tn的表達(dá)式,將Tn的表達(dá)式代入不等式,分離參變量可得λ2n+3)[3n+2(﹣1)n+1],構(gòu)造數(shù)列{cn}:令cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1],通過分別對(duì)數(shù)列{cn}的奇偶項(xiàng)的單調(diào)性進(jìn)行分析可得數(shù)列{cn}的最小項(xiàng)的值,即可得到實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

(Ⅰ)證明:依題意,當(dāng)n≥2時(shí),由4Sn4n+1an2,可得

4Sn14(n1)+1an12,

兩式相減,可得

4an4an2an12

化簡(jiǎn)整理,得

(an+an12)(anan12)=0,

an+an120,或anan120

∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,

anan1,則an+an1≥2an1≥2a12×36,

an+an120不符合題意,

anan120,即anan12,

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an3+2(n1)=2n+1,nN*,

bn(),

Tnb1+b2+…+bn

()()()

()

()

Tn代入不等式,可得λn(﹣1)n+1,

化簡(jiǎn)整理,得

λ(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1],

構(gòu)造數(shù)列{cn}:令cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1],則

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n+2為奇數(shù),

cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1] (2n+3)(3n+2),

cn+2[2(n+2)+3][3(n+2)+2(﹣1)n+3] (2n+7)(3n+8),

cn+2cn(2n+7)(3n+8)(2n+3)(3n+2)

,

n為奇數(shù),∴n2+2n10

cn+2cn0,即cn+2cn,

∴數(shù)列{cn}的奇數(shù)項(xiàng)為單調(diào)遞增數(shù)列,即c1c3c5

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n+2也為偶數(shù),

cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1]2n+3)(3n2),

cn+2[2(n+2)+3][3(n+2)+2(﹣1)n+3] (2n+7)(3n+4),

cn+2cn(2n+7)(3n+4)(2n+3)(3n2)

0,

故數(shù)列{cn}的偶數(shù)項(xiàng)為單調(diào)遞增數(shù)列,即c2c4c6

c125,c214,c333c4,

λ{cn}minc214

∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(﹣,14).

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