【題目】已知遞增數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=3,4Sn﹣4n+1=an2,設(shè)bn(n∈N*)且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(Ⅱ)若對(duì)任意的n∈N*,不等式λTnn(﹣1)n+1恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(﹣∞,14).
【解析】
(Ⅰ)當(dāng)n≥2時(shí),由4Sn﹣4n+1=an2,類比可得4Sn﹣1﹣4(n﹣1)+1=an﹣12,兩式相減,再化簡(jiǎn)整理可得(an+an﹣1﹣2)(an﹣an﹣1﹣2)=0,即an+an﹣1﹣2=0,或an﹣an﹣1﹣2=0,根據(jù)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列可排除不符合題意的一項(xiàng),即可證明結(jié)論;
(Ⅱ)先根據(jù)第(Ⅰ)題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,以及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出Tn的表達(dá)式,將Tn的表達(dá)式代入不等式,分離參變量可得λ(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1],構(gòu)造數(shù)列{cn}:令cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1],通過分別對(duì)數(shù)列{cn}的奇偶項(xiàng)的單調(diào)性進(jìn)行分析可得數(shù)列{cn}的最小項(xiàng)的值,即可得到實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
(Ⅰ)證明:依題意,當(dāng)n≥2時(shí),由4Sn﹣4n+1=an2,可得
4Sn﹣1﹣4(n﹣1)+1=an﹣12,
兩式相減,可得
4an﹣4=an2﹣an﹣12,
化簡(jiǎn)整理,得
(an+an﹣1﹣2)(an﹣an﹣1﹣2)=0,
∴an+an﹣1﹣2=0,或an﹣an﹣1﹣2=0,
∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,
∴an≥an﹣1,則an+an﹣1≥2an﹣1≥2a1=2×3=6,
∴an+an﹣1﹣2=0不符合題意,
∴an﹣an﹣1﹣2=0,即an﹣an﹣1=2,
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=3+2(n﹣1)=2n+1,n∈N*,
則bn(),
故Tn=b1+b2+…+bn
()()()
()
()
,
將Tn代入不等式,可得λn(﹣1)n+1,
化簡(jiǎn)整理,得
λ(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1],
構(gòu)造數(shù)列{cn}:令cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1],則
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n+2為奇數(shù),
cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1] (2n+3)(3n+2),
cn+2[2(n+2)+3][3(n+2)+2(﹣1)n+3] (2n+7)(3n+8),
cn+2﹣cn(2n+7)(3n+8)(2n+3)(3n+2)
,
∵n為奇數(shù),∴n2+2n﹣10,
∴
∴數(shù)列{cn}的奇數(shù)項(xiàng)為單調(diào)遞增數(shù)列,即c1c3c5…
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n+2也為偶數(shù),
cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1](2n+3)(3n﹣2),
cn+2[2(n+2)+3][3(n+2)+2(﹣1)n+3] (2n+7)(3n+4),
cn+2﹣cn(2n+7)(3n+4)(2n+3)(3n﹣2)
0,
故數(shù)列{cn}的偶數(shù)項(xiàng)為單調(diào)遞增數(shù)列,即c2c4c6…
∵c1=25,c2=14,c3=33,c4,
∴λ{cn}min=c2=14,
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(﹣∞,14).
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【題目】某校研究性學(xué)習(xí)小組從汽車市場(chǎng)上隨機(jī)抽取輛純電動(dòng)汽車調(diào)查其續(xù)駛里程(單次充電后能行駛的最大里程),被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于公里和公里之間,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分成組:,,,,,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)求輛純電動(dòng)汽車?yán)m(xù)駛里程的中位數(shù);
(3)若從續(xù)駛里程在的車輛中隨機(jī)抽取輛車,求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程為的概率.
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【題目】已知,分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且軸,的周長為6.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是否存在常數(shù),使得恒成立?請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖所示,天花板上掛著3串玻璃球,射擊玻璃球規(guī)則:每次擊中1球,每串中下面球沒擊中,上面球不能擊中,則把這6個(gè)球全部擊中射擊方法數(shù)是( )
A.78B.60C.48D.36
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【題目】自出生之日起,人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況就呈周期變化,變化由線為.根據(jù)心理學(xué)家的統(tǒng)計(jì),人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種.這些節(jié)律的時(shí)間周期分別為23天、28天、33天.每個(gè)節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個(gè)階段.以上三個(gè)節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日,這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日.臨界日的前半期為高潮期,后半期為低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置),已知小英的生日是2003年3月20日(每年按365天計(jì)算).
(1)請(qǐng)寫出小英的體力、情緒和智力節(jié)律曲線的函數(shù);
(2)試判斷小英在2019年4月22日三種節(jié)律各處于什么階段,當(dāng)日小英是否適合參加某項(xiàng)體育競(jìng)技比賽?
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A.0B.1C.2D.3
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【題目】設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=aln x+bx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn).
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(2)判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),并說明理由.
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【題目】給定平面上的五個(gè)點(diǎn)、、、、,任意三點(diǎn)不共線.由這些點(diǎn)連成4條線段,每個(gè)點(diǎn)至少是一條線段的端點(diǎn).則不同的連結(jié)方式有( ).
A. 120種 B. 125種 C. 130種 D. 135種
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