Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD為梯形AB∥CD，ABC=90°，BC=CD=2AB=2．
（1）若CC₁=2，E為CD₁的中點，在側面ABB₁A₁內是否存在點F，使EF⊥平面ACD₁，若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由；
（2）令點K為BB₁的中點，平面D₁AC與平面ACK所成銳二面角為60°，求DD₁的長．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以B為原點，BC，BA，BB₁分別為x，y，z軸，建立坐標系，若存在這樣的點F，則可設F（0，y，z），其中0≤y≤1，0≤z≤2，利用EF⊥平面ACD₁，求出y=-3，z=5，與0≤y≤1，0≤z≤2矛盾，即可得出結論；
（2）設|DD₁|=2k（k＞0），求出平面ACK的法向量、平面ACD₁的法向量，利用向量的夾角公式，結合平面D₁AC與平面ACK所成銳二面角為60°，求出k，即可求DD₁的長．

解答： 解：（1）以B為原點，BC，BA，BB₁分別為x，y，z軸，建立坐標系，
則A（0，1，0），B（0，0，0），C（2，0，0），D₁（2，2，2），
若存在這樣的點F，則可設F（0，y，z），其中0≤y≤1，0≤z≤2，

EF

=（-2，y-1，z-1），

AC

=（2，-1，0），

CD1

=（0，2，2），
∵EF⊥平面ACD₁，
∴

-4-(y-1)=0 2(y-1)+2(z-1)=0

，∴y=-3，z=5，
與0≤y≤1，0≤z≤2矛盾，
∴不存在滿足條件的點F；
（2）設|DD₁|=2k（k＞0），則K（0，0，k），D₁（2，2，2k），

AK

=（0，-1，k），

AD1

=（2，1，2k），
設平面ACK的法向量為

m

=（x，y，z），則

-y+kz=0 2x-y=0

，
取

m

=（k，2k，2），
同理平面ACD₁的法向量為

n

=（-k，-2k，2），
則

|-k2-4k2+4|

5k2+4 • 5k2+4

=

1

2

∴k=±

2 15

15

或±

2 15

5

（負值舍去），
∴DD₁的長為

2 15

15

或

4 15

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，考查向量知識的運用，正確求出平面的法向量是關鍵．