Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，為等腰直角三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之和為，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用表示出點(diǎn)到直線的距離；再利用和的關(guān)系得到方程，求解得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，假設(shè)直線方程，利用斜率之和為得到與的關(guān)系，將直線方程化為，從而得到定點(diǎn)；當(dāng)斜率不存在時(shí)，發(fā)現(xiàn)直線也過該定點(diǎn)，從而求得結(jié)果.

（1）解：由題意可知：直線的方程為，即

則

因?yàn)?/span>為等腰直角三角形，所以

又

可解得，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）證明：由（1）知

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

代入，得

所以，即

設(shè)，，則，

因?yàn)橹本�與直線的斜率之和為

所以

整理得

所以直線的方程為

顯然直線經(jīng)過定點(diǎn)

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

因?yàn)橹本�與直線的斜率之和為，設(shè)，則

所以，解得

此時(shí)直線的方程為

顯然直線也經(jīng)過該定點(diǎn)

綜上，直線恒過點(diǎn)